Matematică Algebră
Sisteme de ecuatii liniare Gauss Jordan
Metoda Gauss-Jordan este o tehnică de rezolvare a sistemelor de ecuații liniare prin transformarea matricei extinse într-o formă diagonală. Scopul este să obții matricea identitate în partea stângă, iar soluțiile în dreapta.
Pași principali
- 1 Pasul 1: Scrie matricea extinsă Pentru sistemul 2x2: x + 2y = 5, 3x - y = 4, matricea extinsă este [[1, 2 | 5], [3, -1 | 4]].
- 2 Pasul 2: Aduce la forma triunghiulară Folosește operații elementare: schimbă linii, înmulțește o linie cu un scalar, adaugă un multiplu al unei linii la alta. Scop: zerouri sub diagonala principală.
- 3 Pasul 3: Aduce la forma diagonală Creează zerouri și deasupra diagonalei, apoi împarte fiecare linie la coeficientul de pe diagonală pentru a obține 1.
Exemplu rezolvat
- Sistem inițial 2x + y = 7, x - y = 2. Matricea extinsă: [[2, 1 | 7], [1, -1 | 2]].
- Transformări Schimbă L1 cu L2: [[1, -1 | 2], [2, 1 | 7]]. L2 = L2 - 2*L1: [[1, -1 | 2], [0, 3 | 3]]. L2 = L2/3: [[1, -1 | 2], [0, 1 | 1]]. L1 = L1 + L2: [[1, 0 | 3], [0, 1 | 1]].
- Soluția Din matricea finală: x = 3, y = 1.
Verifică soluția în ecuațiile inițiale pentru a evita greșeli de calcul.