Matematică Algebră
Sisteme de ecuatii liniare cu parametri discutie
Discuția unui sistem de ecuații liniare cu parametri implică analizarea soluțiilor în funcție de valorile parametrilor, folosind determinantul matricei sistemului. Pentru un sistem de n ecuații cu n necunoscute, dacă determinantul este nenul, sistemul are soluție unică; dacă este zero, se studiază compatibilitatea prin ranguri.
Pași pentru discuție
- 1 Pasul 1: Scrie sistemul cu parametri Exemplu: { ax + y = 1, x + ay = 2 }, cu parametrul a.
- 2 Pasul 2: Calculează determinantul matricei coeficienților Pentru exemplu, matricea coeficienților este [[a, 1], [1, a]], deci det = a·a - 1·1 = a² - 1.
- 3 Pasul 3: Analizează cazurile Dacă det ≠ 0 (a² - 1 ≠ 0, adică a ≠ ±1), sistemul are soluție unică. Dacă det = 0 (a = 1 sau a = -1), înlocuiești în sistem și verifici dacă este compatibil sau incompatibil.
Exemplu numeric
- Pentru a = 2 det = 2² - 1 = 3 ≠ 0, deci sistemul are soluție unică: x = (1·2 - 1·2)/3 = 0, y = (2·2 - 1·1)/3 = 1.
- Pentru a = 1 det = 0. Sistemul devine { x + y = 1, x + y = 2 }, incompatibil (ecuații contradictorii).
- Pentru a = -1 det = 0. Sistemul devine { -x + y = 1, x - y = 2 }, incompatibil.
Întotdeauna verifică toate valorile parametrilor care anulează determinantul.