Matematică Algebră
Sisteme de ecuatii liniare cu metoda Gauss
Metoda Gauss (sau eliminare gaussiană) rezolvă sisteme de ecuații liniare prin transformarea matricei extinse într-o formă triunghiulară superioară. Această metodă este sistematică și se aplică la sisteme cu orice număr de ecuații.
Pașii metodei Gauss
- 1 Pasul 1: Scrie matricea extinsă Pentru sistemul a1x + b1y + c1z = d1, etc., scrie matricea [[a1, b1, c1 | d1], [a2, b2, c2 | d2], [a3, b3, c3 | d3]].
- 2 Pasul 2: Obține zerouri sub pivot Folosește operații elementare pe linii (schimbări, înmulțiri, adunări) pentru a face zero sub primul element nenul din prima coloană.
- 3 Pasul 3: Continuă pentru celelalte coloane Repetă pentru a doua coloană, făcând zero sub al doilea pivot, până când matricea devine triunghiulară superioară.
Exemplu numeric
- Sistemul inițial x + 2y + z = 5, 2x + 4y + 3z = 8, 3x + 6y + 2z = 10.
- Matricea extinsă și transformări [[1, 2, 1 | 5], [2, 4, 3 | 8], [3, 6, 2 | 10]] → L2 = L2 - 2L1: [[1,2,1|5],[0,0,1|-2],[3,6,2|10]] → L3 = L3 - 3L1: [[1,2,1|5],[0,0,1|-2],[0,0,-1|-5]] → L3 = L3 + L2: [[1,2,1|5],[0,0,1|-2],[0,0,0|-7]].
- Interpretare Ultima linie dă 0 = -7, contradicție, deci sistemul este incompatibil (nu are soluție).
Verifică întotdeauna dacă sistemul este compatibil înainte de a rezolva, analizând matricea extinsă.