Matematică Algebră
Sisteme de ecuatii liniare cu 3 necunoscute
Un sistem de ecuații liniare cu 3 necunoscute este un set de trei ecuații de forma a₁x + b₁y + c₁z = d₁, a₂x + b₂y + c₂z = d₂, a₃x + b₃y + c₃z = d₃, unde x, y, z sunt necunoscutele. Rezolvarea lui înseamnă găsirea valorilor lui x, y, z care satisfac toate ecuațiile simultan. Metodele principale sunt substituția, reducerea și regula lui Cramer.
Metoda reducerii (eliminării)
- 1 Pasul 1 Alege două ecuații și elimină o necunoscută prin adunare/scădere. De exemplu, din 2x + y - z = 5 și x - y + 2z = 3, adună-le pentru a elimina y: 3x + z = 8.
- 2 Pasul 2 Repetă cu o altă pereche de ecuații pentru a obține o a doua ecuație cu aceleași două necunoscute. Din prima și a treia ecuație, obții 4x - y = 7.
- 3 Pasul 3 Rezolvă sistemul de două ecuații cu două necunoscute, apoi înlocuiește înapoi pentru a găsi a treia necunoscută.
Regula lui Cramer
- Determinantul principal Calculează Δ = det(A), unde A este matricea coeficienților. Pentru sistemul dat, Δ = a₁(b₂c₃ - b₃c₂) - b₁(a₂c₃ - a₃c₂) + c₁(a₂b₃ - a₃b₂).
- Determinanții pentru necunoscute Înlocuiește coloana coeficienților fiecărei necunoscute cu termenii liberi: Δx, Δy, Δz. De exemplu, Δx se obține înlocuind prima coloană cu (d₁, d₂, d₃).
- Soluția Dacă Δ ≠ 0, soluția este x = Δx/Δ, y = Δy/Δ, z = Δz/Δ. Dacă Δ = 0, sistemul poate fi incompatibil sau nedeterminat.
Verifică soluția înlocuind valorile găsite în ecuațiile inițiale pentru a te asigura că sunt corecte.