Matematică Algebră
Siruri de functii convergenta
Șiruri de funcții sunt secvențe de funcții (fₙ) definite pe o mulțime comună. Convergența unui astfel de șir înseamnă că, pe măsură ce n crește, fₙ se apropie de o funcție limită f. Există două tipuri principale: convergență punctuală și uniformă.
Tipuri de convergență
- Convergență punctuală Șirul (fₙ) converge punctual la f pe A dacă, pentru fiecare x din A, șirul numeric fₙ(x) converge la f(x). Exemplu: fₙ(x)=x/n pe R converge punctual la f(x)=0.
- Convergență uniformă Șirul (fₙ) converge uniform la f pe A dacă sup|fₙ(x)-f(x)| → 0 când n→∞. Aceasta implică convergență punctuală, dar este mai puternică. Exemplu: fₙ(x)=x²/n pe [0,1] converge uniform la 0.
- Diferența practică Convergența uniformă păstrează proprietăți ca continuitatea: dacă fₙ sunt continue și converg uniform la f, atunci f este continuă. La convergența doar punctuală, f poate să nu fie continuă.
Exemplu de analiză
- 1 Șirul dat Fie fₙ(x)=xⁿ pe [0,1]. Funcția limită este f(x)=0 pentru x∈[0,1) și f(1)=1.
- 2 Verifică convergența punctuală Pentru x fixat în [0,1), lim xⁿ=0; pentru x=1, lim 1ⁿ=1. Deci converge punctual la f.
- 3 Verifică convergența uniformă Calculează sup|fₙ(x)-f(x)| pe [0,1]. Pentru x aproape de 1, diferența este mare, de exemplu la x=0.9, fₙ(0.9)=0.9ⁿ nu converge uniform la 0. Nu există convergență uniformă.
Pentru a verifica convergența uniformă, calculează supremul diferenței |fₙ(x)-f(x)|.