Matematică Algebră
Serii de functii exemple
Seriile de funcții sunt sume infinite de funcții, de forma Σ fₙ(x). Ele generalizează seriile numerice și sunt folosite în analiză matematică, cum ar fi seriile Taylor. Convergența poate fi punctuală sau uniformă.
Exemple comune de serii de funcții
- Serii de puteri Serii de forma Σ aₙ(x-c)ⁿ, unde aₙ sunt coeficienți și c centrul. Exemplu: seria geometrică Σ xⁿ converge la 1/(1-x) pentru |x|<1.
- Serii Fourier Serii trigonometrice de forma a₀/2 + Σ (aₙ cos(nx) + bₙ sin(nx)), folosite pentru a aproxima funcții periodice. Exemplu: pentru f(x)=x pe [-π,π], seria Fourier are termeni specifici.
- Serii Taylor Serii de puteri care aproximează funcții derivabile: f(x)= Σ [f⁽ⁿ⁾(c)/n!] (x-c)ⁿ. Exemplu: eˣ = Σ xⁿ/n! pentru orice x real.
Exemplu numeric cu seria geometrică
- 1 Seria dată Fie Σ (x/2)ⁿ pentru n de la 0 la ∞. Aceasta este o serie geometrică cu rația r=x/2.
- 2 Condiția de convergență Seria converge dacă |r|<1, adică |x/2|<1 → |x|<2. Suma este S=1/(1 - x/2)=2/(2-x).
- 3 Calcul pentru un x specific Pentru x=1, seria devine Σ (1/2)ⁿ = 1 + 1/2 + 1/4 + ... Suma este 1/(1-1/2)=2, care coincide cu 2/(2-1)=2.
Pentru seriile de puteri, determină mai întâi raza de convergență folosind criteriul raportului.