Matematică Algebră
Semnul unei functii de gradul 2
Semnul unei funcții de gradul 2, f(x) = ax² + bx + c, depinde de coeficientul a și de discriminantul Δ = b² - 4ac. Acest semn indică unde funcția este pozitivă (f(x) > 0) sau negativă (f(x) < 0) pe axa reală. Analiza semnului se bazează pe parabola reprezentată de funcție, cu vârful și intersecțiile cu axa Ox.
Reguli pentru semn
- Dacă a > 0 Parabola este deschisă în sus. f(x) > 0 în afara rădăcinilor (dacă există) și f(x) < 0 între rădăcini. Dacă Δ < 0, f(x) > 0 pentru orice x real.
- Dacă a < 0 Parabola este deschisă în jos. f(x) < 0 în afara rădăcinilor și f(x) > 0 între rădăcini. Dacă Δ < 0, f(x) < 0 pentru orice x real.
- Cazuri speciale Dacă Δ = 0, funcția atinge axa Ox într-un punct (rădăcină dublă). Semnul este același cu semnul lui a peste tot, cu excepția punctului unde f(x)=0.
Exemple practice
- Exemplul 1: f(x) = x² - 4x + 3 a=1>0, Δ=16-12=4>0, rădăcinile x=1 și x=3. f(x)>0 pentru x∈(-∞,1)∪(3,∞); f(x)<0 pentru x∈(1,3).
- Exemplul 2: f(x) = -2x² + 4x - 2 a=-2<0, Δ=16-16=0, rădăcină dublă x=1. f(x)<0 pentru x≠1, f(1)=0.
- Exemplul 3: f(x) = 3x² + 2x + 1 a=3>0, Δ=4-12=-8<0. f(x)>0 pentru orice x real.
Pentru a determina semnul, calculează întâi Δ și rădăcinile, apoi aplică regulile în funcție de a.