Matematică Algebră
Relatiile lui Viete exercitii clasa 10
Relațiile lui Viète exprimă legătura dintre coeficienții și rădăcinile unei ecuații polinomiale. Pentru ecuația de gradul II, ax²+bx+c=0 cu rădăcinile x₁ și x₂, avem x₁+x₂=-b/a și x₁·x₂=c/a.
Exerciții tipice
- Calculul sumei și produsului Dată ecuația 3x²-5x+2=0, cu rădăcinile x₁ și x₂, calculează x₁+x₂=5/3 și x₁·x₂=2/3.
- Formarea unei ecuații noi Dacă x₁ și x₂ sunt rădăcinile lui x²-4x+1=0, formează ecuația cu rădăcinile 2x₁ și 2x₂. Suma=2(x₁+x₂)=8, produsul=4(x₁·x₂)=4, deci ecuația este y²-8y+4=0.
- Relații simetrice Pentru x²-6x+8=0, calculează x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²-2x₁x₂=36-16=20.
Aplicații practice
- Verificarea rădăcinilor Dacă ghiciți că x=2 este rădăcină a lui x²-5x+6=0, verificați cu produsul: 2·3=6, corect.
- Probleme parametrice Pentru ecuația x²+mx+3=0, dacă x₁+x₂=4, atunci -m/1=4, deci m=-4.
- Exemplu numeric Ecuația 2x²+4x-6=0 are rădăcinile cu sumă -4/2=-2 și produs -6/2=-3. Verifică prin rezolvare: x₁=1, x₂=-3, sumă -2, produs -3.
Exersează transformarea expresiilor simetrice folosind sumă și produs.