Matematică Algebră
Radacini complexe conjugate proprietati
Rădăcinile complexe conjugate apar în perechi pentru polinoame cu coeficienți reali. Dacă z=a+bi este o rădăcină, atunci conjugata sa z̄=a-bi este și ea rădăcină.
Proprietăți de bază
- Definiție Pentru z=a+bi, conjugata este z̄=a-bi, unde a,b∈ℝ și i²=-1.
- Suma și produsul Suma z+z̄=2a (reală), produsul z·z̄=a²+b² (real și pozitiv).
- În ecuații polinomiale Dacă P(x) are coeficienți reali și z este rădăcină, atunci P(z̄)=0. Exemplu: pentru P(x)=x²+1, rădăcinile sunt i și -i (conjugate).
Aplicații și exemple
- Formarea ecuațiilor Dacă rădăcinile sunt 2+3i și 2-3i, ecuația este (x-(2+3i))(x-(2-3i))=x²-4x+13=0.
- Calculul modulului Modulul |z|=√(a²+b²)=√(z·z̄). Pentru z=1+i, |z|=√(1²+1²)=√2.
- Exemplu numeric Pentru ecuația x²-2x+5=0, discriminantul Δ=(-2)²-4·1·5=-16, rădăcinile sunt (2±4i)/2=1±2i, pereche conjugată.
Folosește conjugarea pentru a simplifica calculele cu numere complexe.