Matematică Algebră
Polinomul de gradul 3 radacini
Un polinom de gradul 3 are exact 3 rădăcini în mulțimea numerelor complexe, contând și multiplicitatea. Aceste rădăcini pot fi reale sau complexe, iar suma lor este dată de relațiile lui Viète. De exemplu, pentru polinomul x³ - 6x² + 11x - 6, rădăcinile sunt 1, 2 și 3.
Proprietăți ale rădăcinilor
- Numărul de rădăcini Un polinom de gradul 3 are 3 rădăcini în C, incluzând rădăcini multiple. Dacă coeficienții sunt reali, rădăcinile complexe apar în perechi conjugate.
- Relațiile lui Viète Pentru ax³ + bx² + cx + d = 0 cu rădăcinile x₁, x₂, x₃: x₁ + x₂ + x₃ = -b/a, x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃ = c/a, x₁x₂x₃ = -d/a.
- Exemplu numeric Pentru x³ - 2x² - 5x + 6 = 0, rădăcinile sunt -2, 1 și 3. Suma: -2+1+3=2 = -(-2)/1, produsul: (-2)*1*3=-6 = -6/1.
Metode de găsire a rădăcinilor
- Factorizare Caută rădăcini raționale printre divizorii termenului liber. Pentru x³ - 4x² + x + 6 = 0, x=2 este rădăcină, deci (x-2) este factor.
- Formula Cardano Există o formulă generală pentru ecuațiile de gradul 3, dar e complexă și rar folosită la nivel școlar.
- Metoda grafică Trasează graficul funcției polinomiale; rădăcinile sunt punctele unde graficul intersectează axa Ox.
Pentru exerciții, începe prin a testa divizorii termenului liber ca rădăcini potențiale.