Matematică Algebră
Plane in spatiu ecuatii si intersectii
Un plan în spațiu este definit printr-o ecuație de forma ax + by + cz + d = 0, unde (a, b, c) este vectorul normal la plan. Intersecția a două plane poate fi o dreaptă, un plan (dacă coincid) sau vidă (dacă sunt paralele). Pentru a găsi intersecția, se rezolvă sistemul ecuațiilor celor două plane.
Tipuri de ecuații
- Ecuația generală ax + by + cz + d = 0. Exemplu: 2x - 3y + z - 5 = 0 definește un plan cu normala (2, -3, 1).
- Ecuația parametrică Se dă un punct P0(x0, y0, z0) și doi vectori directori u și v: P = P0 + s*u + t*v, cu s, t reali.
- Ecuația prin trei puncte Dacă ai punctele A, B, C, calculează vectorii AB și AC, apoi normala ca produs vectorial n = AB × AC.
Calculul intersecției a două plane
- 1 Scrie ecuațiile Fie planele: P1: 2x + y - z = 1 și P2: x - y + 2z = 3.
- 2 Rezolvă sistemul Adaugă ecuațiile: (2x + y - z) + (x - y + 2z) = 1 + 3 => 3x + z = 4. Exprimă o variabilă, de exemplu z = 4 - 3x.
- 3 Găsește dreapta Înlocuiește în una din ecuații: 2x + y - (4 - 3x) = 1 => 5x + y = 5 => y = 5 - 5x. Dreapta de intersecție: (x, 5 - 5x, 4 - 3x).
Verifică dacă planele sunt paralele comparând vectorii normali înainte de a calcula intersecția.