Matematică Algebră
Numere complexe radacini de ordin n
Numerele complexe au rădăcini de ordin n, calculate folosind formula lui Moivre. Pentru un număr complex z = r(cos θ + i sin θ), rădăcinile de ordin n sunt z_k = r^(1/n)[cos((θ + 2kπ)/n) + i sin((θ + 2kπ)/n)], cu k = 0,1,...,n-1.
Elemente cheie în calcul
- Modulul rădăcinii Modulul fiecărei rădăcini este r^(1/n), unde r este modulul numărului inițial.
- Argumentele rădăcinilor Argumentele sunt (θ + 2kπ)/n, dând n rădăcini distincte în planul complex.
- Reprezentare geometrică Rădăcinile sunt vârfurile unui poligon regulat cu n laturi, centrat în origine.
Exemplu numeric
- 1 Consideră z = 8i Scrie-l sub formă trigonometrică: 8i = 8(cos π/2 + i sin π/2).
- 2 Calculează rădăcinile de ordin 3 r^(1/3) = 2, argumente: (π/2 + 2kπ)/3 pentru k=0,1,2.
- 3 Rezultatele z_0 = 2(cos π/6 + i sin π/6) = √3 + i, z_1 = 2(cos 5π/6 + i sin 5π/6) = -√3 + i, z_2 = 2(cos 3π/2 + i sin 3π/2) = -2i.
Verifică întotdeauna că suma rădăcinilor este 0 pentru ecuații de forma z^n = a, cu a complex.