Matematică Algebră
Numere complexe proprietati si operatii
Numerele complexe sunt numere de forma z = a + bi, unde a și b sunt numere reale, iar i este unitatea imaginară cu proprietatea i² = -1. Acestea extind mulțimea numerelor reale și permit rezolvarea ecuațiilor care nu au soluții reale, cum ar fi x² + 1 = 0.
Proprietăți de bază
- Partea reală și imaginară Pentru z = a + bi, a este partea reală (Re(z) = a), iar b este partea imaginară (Im(z) = b).
- Modulul unui număr complex Modulul lui z este |z| = √(a² + b²) și reprezintă distanța de la origine la punctul (a, b) în planul complex.
- Conjugatul unui număr complex Conjugatul lui z = a + bi este z̅ = a - bi. Proprietate: z * z̅ = a² + b² = |z|².
Operații cu numere complexe
- Adunarea și scăderea Se adună/scad părțile reale și imaginare separat: (a + bi) ± (c + di) = (a ± c) + (b ± d)i.
- Înmulțirea Se aplică distributivitatea și se ține cont că i² = -1: (a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i.
- Împărțirea Se amplifică cu conjugatul numitorului: (a + bi)/(c + di) = [(a + bi)(c - di)]/(c² + d²).
Pentru exerciții, începe prin a separa părțile reale și imaginare la operații.