Matematică Algebră
Numere complexe operatii forma trigonometrica
Numerele complexe se scriu în forma trigonometrică z = r(cos θ + i sin θ), unde r = |z| este modulul și θ = arg(z) este argumentul. Această formă facilitează înmulțirea, împărțirea și ridicarea la putere. De exemplu, z = 1 + i are r = √2 și θ = π/4, deci z = √2(cos π/4 + i sin π/4).
Operații în formă trigonometrică
- Înmulțirea Dacă z₁ = r₁(cos θ₁ + i sin θ₁) și z₂ = r₂(cos θ₂ + i sin θ₂), atunci z₁·z₂ = r₁r₂[cos(θ₁+θ₂) + i sin(θ₁+θ₂)].
- Împărțirea z₁/z₂ = (r₁/r₂)[cos(θ₁-θ₂) + i sin(θ₁-θ₂)], pentru z₂ ≠ 0.
- Ridicarea la putere (Moivre) zⁿ = rⁿ[cos(nθ) + i sin(nθ)], pentru n întreg.
Cum treci la formă trigonometrică
- 1 Calculează modulul Pentru z = a + bi, r = √(a² + b²).
- 2 Calculează argumentul θ = arctan(b/a), ajustat după cadran: dacă a>0, θ = arctan(b/a); dacă a<0, adaugă π; dacă a=0, θ = π/2 pentru b>0 sau -π/2 pentru b<0.
- 3 Scrie forma z = r(cos θ + i sin θ).
Exemplu numeric
- Numărul inițial z = -√3 + i.
- Modulul r = √((-√3)² + 1²) = √(3+1) = √4 = 2.
- Argumentul a = -√3 < 0, b = 1 > 0, deci θ = arctan(1/(-√3)) + π = arctan(-1/√3) + π = -π/6 + π = 5π/6.
- Forma trigonometrică z = 2(cos 5π/6 + i sin 5π/6).
Folosește forma trigonometrică pentru operații repetitive, ea simplifică calculele cu numere complexe.