Matematică Algebră
Numere complexe forma trigonometrica clasa 11
Forma trigonometrică a unui număr complex z = a + bi este z = r(cos θ + i sin θ), unde r = |z| = √(a²+b²) este modulul, iar θ = arg z este argumentul. Această formă simplifică înmulțirea și ridicarea la putere. Pentru clasa a XI-a.
Componentele formei trigonometrice
- Modulul r r = √(a² + b²), distanța de la origine la punctul (a,b) în planul complex.
- Argumentul θ θ este unghiul făcut de vectorul (a,b) cu axa reală pozitivă, calculat din tg θ = b/a, cu atenție la cadran.
- Forma trigonometrică z = r(cos θ + i sin θ), scris uneori ca r cis θ.
Exemplu numeric
- 1 Numărul complex Fie z = 1 + i√3.
- 2 Calculul modulului r = √(1² + (√3)²) = √(1+3) = 2.
- 3 Calculul argumentului tg θ = √3/1 = √3 → θ = π/3 (deoarece punctul (1,√3) este în cadranul I).
- 4 Forma trigonometrică z = 2(cos π/3 + i sin π/3).
Aplicații
- Înmulțirea Dacă z₁ = r₁(cos θ₁ + i sin θ₁) și z₂ = r₂(cos θ₂ + i sin θ₂), atunci z₁·z₂ = r₁r₂[cos(θ₁+θ₂) + i sin(θ₁+θ₂)].
- Ridicarea la putere zⁿ = rⁿ[cos(nθ) + i sin(nθ)] (formula lui Moivre).
- Rădăcinile de ordin n z^(1/n) = r^(1/n)[cos((θ+2kπ)/n) + i sin((θ+2kπ)/n)], k=0,1,...,n-1.
Exersează transformarea din forma algebrică în trigonometrică pentru numere din toate cadranele, folosind cercul trigonometric.