Matematică Algebră
Numere complexe ecuatii rezolvate
O ecuație cu numere complexe se rezolvă aplicând reguli algebrice similare celor din ℝ, dar ținând cont că i² = -1. Soluțiile pot fi numere complexe de forma z = a + bi, cu a, b ∈ ℝ. De exemplu, ecuația z² + 1 = 0 are soluțiile z = i și z = -i.
Pași generali de rezolvare
- 1 Pasul 1: Izolează necunoscuta Manipulează ecuația pentru a separa termenii cu z. Pentru 2z - 3i = 5, adaugă 3i: 2z = 5 + 3i.
- 2 Pasul 2: Aplică operații cu complexe Împarte sau înmulțește, tratând i ca o constantă. În 2z = 5+3i, împarte la 2: z = (5+3i)/2 = 2.5 + 1.5i.
- 3 Pasul 3: Verifică în ecuație Înlocuiește soluția. Pentru z=2.5+1.5i în 2z-3i=5: 2*(2.5+1.5i)-3i=5+3i-3i=5.
Exemple rezolvate
- Exemplul 1: z² = -9 z² = 9i² → z = ±3i. Soluțiile: z₁ = 3i, z₂ = -3i.
- Exemplul 2: (1+i)z = 3 - i Împarte la (1+i): z = (3-i)/(1+i). Amplifică cu conjugatul: z = [(3-i)(1-i)]/[(1+i)(1-i)] = (3-3i-i+i²)/(1+1) = (2-4i)/2 = 1-2i.
- Exemplul 3: z + conj(z) = 6 Fie z=a+bi, conj(z)=a-bi. Ecuația devine (a+bi)+(a-bi)=6 → 2a=6 → a=3, b orice real. Soluția: z=3+bi.
La împărțirea numerelor complexe, amplifică întotdeauna cu conjugatul numitorului.