Matematică Algebră
Metoda lui Gauss pentru sisteme de ecuatii
Metoda lui Gauss, sau eliminarea gaussiană, este o tehnică pentru rezolvarea sistemelor de ecuații liniare prin transformarea matricei extinse într-o formă triunghiulară superioară. Aceasta permite rezolvarea sistemului prin substituție inversă, de la ultima ecuație la prima. Este eficientă pentru sisteme cu multe necunoscute și stă la baza algoritmilor numerici.
Pași principali
- 1 Pasul 1: Scrierea matricei extinse Pentru un sistem de m ecuații cu n necunoscute, scrie matricea extinsă [A|B], unde A este matricea coeficienților și B este coloana termenilor liberi. Exemplu: sistemul 2x + y = 5, x - y = 1 dă matricea [[2, 1, 5], [1, -1, 1]].
- 2 Pasul 2: Eliminarea progresivă Folosește transformări elementare pe linii pentru a obține zerouri sub diagonala principală. Pentru exemplul dat, schimbă linia 1 cu linia 2 pentru a avea pivotul 1 în stânga, apoi scade de 2 ori noua linie 1 din linia 2.
- 3 Pasul 3: Forma triunghiulară Obține o matrice unde coeficienții sub diagonala sunt zero. Pentru exemplu, după transformări, matricea devine [[1, -1, 1], [0, 3, 3]], adică sistemul x - y = 1, 3y = 3.
Tipuri de soluții
- Soluție unică Când numărul de ecuații independente este egal cu numărul de necunoscute și matricea A are rang maxim. Exemplu: sistemul anterior are soluția x = 2, y = 1.
- Infinitate de soluții Când rangul lui A este mai mic decât numărul de necunoscute. Sistemul devine dependent; soluțiile se exprimă cu parametri. Exemplu: x + y = 2 are infinitate de soluții (x = t, y = 2-t).
- Nici o soluție Când apare o contradicție, de exemplu o linie de forma 0 = c cu c ≠ 0 în matricea extinsă. Sistemul este incompatibil.
Începe întotdeauna cu pivotul cel mai mare în valoare absolută pentru a minimiza erorile de rotunjire în calculele numerice.