Matematică Algebră
Matrice inversa prin metoda lui Gauss
Matricea inversă A⁻¹ a unei matrice pătratice A se poate găsi prin metoda lui Gauss-Jordan, adăugând matricea unitate I la dreapta lui A și aplicând transformări elementare până când partea stângă devine I. Matricea inversă va apărea în partea dreaptă.
Pași algoritmici
- 1 Formează matricea extinsă Scrie matricea A și alături matricea unitate I de aceeași dimensiune. Exemplu pentru A = [[2, 1], [1, 1]]: [[2, 1 | 1, 0], [1, 1 | 0, 1]].
- 2 Aplică transformări elementare Folosește operații pe linii (schimbări, înmulțiri, adunări) pentru a obține I în stânga. Pentru exemplu: L1 ↔ L2, apoi L2 = L2 - 2L1, L1 = L1 - L2, L2 = -L2.
- 3 Citește inversa Când stânga devine I, dreapta este A⁻¹. Pentru exemplu: stânga devine [[1,0],[0,1]], dreapta [[1,-1],[-1,2]] este inversa.
Condiții și exemple
- Matrice inversabilă Metoda funcționează doar dacă det(A) ≠ 0. Exemplu: A = [[1,2],[3,4]] are det=-2, deci e inversabilă.
- Eroare comună Nu aplica transformări pe coloane, doar pe linii, pentru a păstra corectitudinea.
- Verificare Înmulțește A cu A⁻¹ pentru a obține I. Pentru exemplul inițial: [[2,1],[1,1]] · [[1,-1],[-1,2]] = [[1,0],[0,1]].
Exersează pe matrice 2x2 și 3x3 pentru a înțelege pattern-ul transformărilor.