Matematică Algebră
Limite de functii calcul exemple
Limita unei funcții într-un punct este valoarea către care tinde funcția când argumentul se apropie de acel punct. Calculul limitelor implică tehnici algebrice și cunoașterea unor limite fundamentale.
Tehnici de calcul
- Înlocuire directă Dacă funcția este continuă în punct, limita este valoarea funcției în acel punct. Exemplu: lim(x→2) (3x+1) = 3*2+1 = 7.
- Factorizare și simplificare Pentru limite care dau 0/0, factorizează și simplifică. Exemplu: lim(x→1) (x²-1)/(x-1) = lim(x→1) (x-1)(x+1)/(x-1) = lim(x→1) (x+1) = 2.
- Conjugata Pentru limite cu radicali, amplifică cu conjugata. Exemplu: lim(x→0) (√(x+1)-1)/x = lim(x→0) [(√(x+1)-1)(√(x+1)+1)]/[x(√(x+1)+1)] = lim(x→0) x/[x(√(x+1)+1)] = 1/2.
Exemple detaliate
- 1 Pasul 1: Limită rațională lim(x→3) (x²-9)/(x-3) = lim(x→3) (x-3)(x+3)/(x-3) = lim(x→3) (x+3) = 6.
- 2 Pasul 2: Limită cu radical lim(x→4) (√x-2)/(x-4) = lim(x→4) (√x-2)(√x+2)/[(x-4)(√x+2)] = lim(x→4) (x-4)/[(x-4)(√x+2)] = 1/(√4+2) = 1/4.
- 3 Pasul 3: Limită la infinit lim(x→∞) (3x²+2x)/(x²-1) = lim(x→∞) (3+2/x)/(1-1/x²) = 3/1 = 3, împărțind numărătorul și numitorul la x².
Verifică întotdeauna dacă limita există și este finită, folosind definiția sau teoremele de convergență.