Matematică Algebră
Inecuatii exponentiale rezolvate
O inecuație exponențială are necunoscuta în exponent. Rezolvarea implică manipularea puterilor și atenție la monotonia funcției exponențiale. De exemplu, pentru a^x > b, soluția depinde de valoarea lui a: dacă a > 1, inecuația păstrează sensul; dacă 0 < a < 1, sensul se inversează.
Pași de rezolvare
- 1 Scrie bazele egale Transformă termenii în puteri cu aceeași bază. Pentru 2^(x+1) > 8, scrie 8 = 2^3, deci inecuația devine 2^(x+1) > 2^3.
- 2 Compară exponenții Dacă baza a > 1, inecuația a^f(x) > a^g(x) devine f(x) > g(x). Pentru 2^(x+1) > 2^3, cu baza 2 > 1, obții x+1 > 3.
- 3 Inversează sensul pentru baze între 0 și 1 Dacă 0 < a < 1, inecuația a^f(x) > a^g(x) devine f(x) < g(x). Pentru (1/2)^x > 4, scrie 4 = (1/2)^(-2), deci (1/2)^x > (1/2)^(-2). Cum baza 1/2 ∈ (0,1), rezultă x < -2.
- 4 Rezolvă inecuația algebrică După compararea exponenților, obții o inecuație simplă. Pentru x+1 > 3, soluția este x > 2.
Exemple rezolvate
- Exemplu 1: 3^(2x-1) ≤ 27 Scrie 27 = 3^3: 3^(2x-1) ≤ 3^3. Baza 3 > 1, deci 2x-1 ≤ 3 ⇒ 2x ≤ 4 ⇒ x ≤ 2.
- Exemplu 2: (1/4)^x > 16 Scrie 1/4 = 4^(-1) și 16 = 4^2: (4^(-1))^x > 4^2 ⇒ 4^(-x) > 4^2. Baza 4 > 1, deci -x > 2 ⇒ x < -2.
- Exemplu 3: 5^(x^2) < 125 Scrie 125 = 5^3: 5^(x^2) < 5^3. Baza 5 > 1, deci x^2 < 3 ⇒ -√3 < x < √3.
Verifică întotdeauna baza exponențială pentru a decide dacă păstrezi sau inversezi sensul inecuației.