Matematică Algebră
Functii inverse cum se calculeaza
Funcția inversă f⁻¹ a unei funcții bijective f se calculează prin rezolvarea ecuației y = f(x) în raport cu x, apoi schimbarea variabilelor. Dacă f: A → B este bijectivă, atunci f⁻¹: B → A are proprietatea f⁻¹(f(x)) = x pentru orice x din A.
Pași de calcul
- 1 Verificați bijectivitatea Asigurați-vă că funcția este injectivă (f(x₁)=f(x₂) ⇒ x₁=x₂) și surjectivă (pentru orice y din B există x din A cu f(x)=y). Pentru funcții reale de variabilă reală, o funcție strict monotonă este injectivă.
- 2 Rezolvați ecuația y = f(x) Exprimați x în funcție de y. Exemplu: pentru f(x)=2x+3, avem y=2x+3 ⇒ x=(y-3)/2.
- 3 Schimbați variabilele Înlocuiți x cu f⁻¹(y) și y cu x: f⁻¹(x) = (x-3)/2. Domeniul lui f⁻¹ este codomeniul lui f, iar codomeniul lui f⁻¹ este domeniul lui f.
Exemple comune
- Funcția liniară: f(x)=ax+b, a≠0 f⁻¹(x) = (x-b)/a. Exemplu: f(x)=5x-2 ⇒ f⁻¹(x)=(x+2)/5.
- Funcția pătratică pe un interval f(x)=x² pe [0,∞) este bijectivă. y=x² ⇒ x=√y, deci f⁻¹(x)=√x, cu x≥0.
- Funcția exponențială și logaritmică f(x)=e^x are inversa f⁻¹(x)=ln(x), cu x>0. Aceasta deoarece e^ln(x)=x și ln(e^x)=x.
Întotdeauna verificați domeniul și codomeniul la calculul inversei, deoarece acestea determină bijectivitatea.