Matematică Algebră
Functii injective surjective bijective exemple
Funcțiile injective, surjective și bijective sunt clasificări bazate pe modul în care asociază elemente. O funcție f: A → B are aceste proprietăți în funcție de relația dintre domeniu și codomeniu.
Definiții cu exemple
- Funcție injectivă Fiecare element din B este asociat cel mult unui element din A. Exemplu: f: ℝ → ℝ, f(x) = 2x + 1, deoarece dacă f(x₁) = f(x₂), atunci x₁ = x₂.
- Funcție surjectivă Fiecare element din B este asociat cel puțin unui element din A. Exemplu: f: ℝ → ℝ, f(x) = x³, deoarece pentru orice y ∈ ℝ, există x = ∛y astfel încât f(x) = y.
- Funcție bijectivă Este atât injectivă, cât și surjectivă. Exemplu: f: ℝ → ℝ, f(x) = 3x - 2, deoarece este injectivă și surjectivă, având inversa f⁻¹(x) = (x+2)/3.
Cum se verifică
- 1 Pasul 1: Verifică injectivitatea Presupune f(x₁) = f(x₂) și arată că x₁ = x₂. Pentru f(x) = x² pe ℝ, nu e injectivă deoarece f(1) = f(-1) dar 1 ≠ -1.
- 2 Pasul 2: Verifică surjectivitatea Pentru fiecare y ∈ B, găsește un x ∈ A astfel încât f(x) = y. Pentru f(x) = x² pe ℝ → [0,∞), e surjectivă.
- 3 Pasul 3: Concluzionează bijectivitatea Dacă ambele condiții sunt îndeplinite, funcția este bijectivă. Exemplu: f: ℝ → ℝ, f(x) = 5x.
Pentru a clasifica o funcție, analizează-o pe rând pentru injectivitate și surjectivitate folosind definițiile.