Matematică Algebră
Functii injective surjective bijective diferenta
Funcțiile injective, surjective și bijective definesc modul în care elementele din domeniu se asociază cu cele din codomeniu. O funcție f: A→B este injectivă dacă f(x₁)=f(x₂) implică x₁=x₂, surjectivă dacă pentru orice y∈B există x∈A cu f(x)=y, și bijectivă dacă este și injectivă și surjectivă.
Definiții și exemple
- Injectivitate Exemplu: f:ℝ→ℝ, f(x)=2x+1 este injectivă, deoarece 2x₁+1=2x₂+1 ⇒ x₁=x₂. Contraexemplu: f(x)=x² nu este injectivă pe ℝ, deoarece f(1)=f(-1).
- Surjectivitate Exemplu: f:ℝ→ℝ, f(x)=x³ este surjectivă, deoarece orice y∈ℝ are o rădăcină cubică x=∛y. Contraexemplu: f:ℝ→ℝ, f(x)=x² nu este surjectivă, deoarece numerele negative nu au preimagine reală.
- Bijectivitate Exemplu: f:ℝ→ℝ, f(x)=3x-2 este bijectivă. Are inversă f⁻¹(y)=(y+2)/3.
Cum se verifică
- 1 Pasul 1: Verifică injectivitatea Rezolvă ecuația f(x₁)=f(x₂); dacă obții mereu x₁=x₂, este injectivă. Pentru funcții liniare nenule, este întotdeauna adevărat.
- 2 Pasul 2: Verifică surjectivitatea Rezolvă ecuația f(x)=y pentru orice y∈B; dacă găsești mereu o soluție x∈A, este surjectivă. Pentru f:ℝ→ℝ, f(x)=x², nu este surjectivă deoarece y=-1 nu are soluție.
- 3 Pasul 3: Concluzia pentru bijectivitate Dacă ambele condiții sunt îndeplinite, funcția este bijectivă și admite inversă. Exemplu: f:[0,∞)→[0,∞), f(x)=x² este bijectivă pe acest domeniu restrâns.
Pentru a diferenția, testează cu exemple numerice specifice.