Matematică Algebră
Functii injective surjective bijective definitii si exemple
O funcție injectivă are valori distincte pentru argumente distincte, o funcție surjectivă acoperă întreg codomeniul, iar o funcție bijectivă este și injectivă și surjectivă. Aceste proprietăți sunt cruciale în analiza matematică de clasa a XI-a.
Definiții și exemple
- Funcție injectivă f: A→B este injectivă dacă f(x₁)=f(x₂) implică x₁=x₂. Exemplu: f: ℝ→ℝ, f(x)=2x+1. Dacă 2x₁+1=2x₂+1, atunci x₁=x₂.
- Funcție surjectivă f: A→B este surjectivă dacă pentru orice y∈B, există x∈A cu f(x)=y. Exemplu: f: ℝ→ℝ, f(x)=x³. Orice număr real are o rădăcină cubică reală.
- Funcție bijectivă f este bijectivă dacă este și injectivă și surjectivă. Exemplu: f: ℝ→ℝ, f(x)=3x-2. Este inversabilă, cu inversa f⁻¹(x)=(x+2)/3.
Contraexemple
- Neinjectiv f: ℝ→ℝ, f(x)=x². f(2)=f(-2)=4, dar 2≠-2, deci nu e injectivă.
- Nesurjectiv f: ℝ→ℝ, f(x)=x². Nu există x real cu f(x)=-1, deci nu e surjectivă pe ℝ (dar e surjectivă pe [0,∞)).
- Verificare practică Pentru injectivitate, rezolvă ecuația f(x)=k; dacă are cel mult o soluție, e injectivă. Pentru surjectivitate, verifică dacă ecuația f(x)=y are soluție pentru orice y din codomeniu.
O funcție bijectivă are inversă, utilă în rezolvarea ecuațiilor.