Matematică Algebră
Functii bijective injective surjective exercitii
Funcțiile bijective, injective și surjective sunt definite prin relațiile dintre elementele domeniului și codomeniului. O funcție f: A → B este injectivă dacă f(x₁) = f(x₂) implică x₁ = x₂, surjectivă dacă pentru orice y ∈ B există x ∈ A cu f(x) = y, și bijectivă dacă este atât injectivă, cât și surjectivă.
Exerciții tipice
- Verifică injectivitatea Dată f(x) = 3x + 2 pe R, presupunem f(x₁) = f(x₂) → 3x₁ + 2 = 3x₂ + 2 → 3x₁ = 3x₂ → x₁ = x₂, deci e injectivă.
- Verifică surjectivitatea Pentru f: R → R, f(x) = x², nu e surjectivă deoarece nu există x real cu f(x) = -1 (de exemplu).
- Determină bijectivitatea f: R → R, f(x) = 2x - 1: e injectivă (2x₁ - 1 = 2x₂ - 1 → x₁ = x₂) și surjectivă (pentru orice y, x = (y+1)/2 satisface f(x)=y), deci bijectivă.
Metode de rezolvare
- 1 Analizează definiția Citește enunțul și identifică domeniul A și codomeniul B.
- 2 Testează injectivitatea Presupune f(x₁) = f(x₂) și deduce dacă x₁ = x₂; dacă da, e injectivă.
- 3 Testează surjectivitatea Pentru un y arbitrar în B, rezolvi ecuația f(x) = y și vezi dacă soluția x este în A.
- 4 Concluzionează Dacă ambele condiții sunt îndeplinite, funcția e bijectivă.
Folosește contraexemple pentru a arăta că o funcție nu e injectivă sau surjectivă.