Matematică Algebră
Forma trigonometrica a unui numar complex
Forma trigonometrică a unui număr complex z = a + bi este z = r(cos θ + i sin θ), unde r = |z| este modulul, iar θ este argumentul (unghiul față de axa reală). Această formă este utilă pentru înmulțirea și ridicarea la putere a numerelor complexe.
Elementele formei trigonometrice
- Modulul r r = √(a² + b²), calculat din coordonatele carteziene a și b.
- Argumentul θ θ = arctan(b/a) pentru a > 0, ajustat în funcție de cadranul în care se află punctul (a, b).
- Exemplu numeric Pentru z = 1 + i, r = √2, θ = π/4, deci forma trigonometrică este √2(cos π/4 + i sin π/4).
Aplicații ale formei trigonometrice
- Înmulțirea Dacă z₁ = r₁(cos θ₁ + i sin θ₁) și z₂ = r₂(cos θ₂ + i sin θ₂), atunci z₁z₂ = r₁r₂[cos(θ₁ + θ₂) + i sin(θ₁ + θ₂)].
- Ridicarea la putere Formula lui Moivre: zⁿ = rⁿ[cos(nθ) + i sin(nθ)], pentru n număr natural.
- Extragerea rădăcinii Rădăcina de ordin n: z^(1/n) = r^(1/n)[cos((θ + 2kπ)/n) + i sin((θ + 2kπ)/n)], cu k = 0, 1, ..., n-1.
Verifică întotdeauna cadranul pentru a calcula corect argumentul θ.