Matematică Algebră
Forma trigonometrica a numerelor complexe
Forma trigonometrică a unui număr complex z = a + bi este z = r(cos θ + i sin θ), unde r = |z| este modulul și θ = arg(z) este argumentul. Această formă este utilă pentru înmulțirea, împărțirea și ridicarea la putere a numerelor complexe. Se obține din reprezentarea geometrică în planul complex.
Elementele formei trigonometrice
- Modulul r r = √(a² + b²), distanța de la origine la punctul (a,b) în plan.
- Argumentul θ θ = arctan(b/a) pentru a > 0, ajustat după cadran; măsoară unghiul față de axa reală.
- Forma completă z = r(cos θ + i sin θ), cu r ≥ 0 și θ în radiani, de obicei în [0, 2π).
Exemplu numeric
- 1 Pasul 1: Identifică a și b Pentru z = 1 + i√3, a = 1, b = √3.
- 2 Pasul 2: Calculează r r = √(1² + (√3)²) = √(1 + 3) = √4 = 2.
- 3 Pasul 3: Calculează θ θ = arctan(√3/1) = arctan(√3) = π/3 (primul cadran).
- 4 Pasul 4: Scrie forma trigonometrică z = 2(cos(π/3) + i sin(π/3)).
Verifică întotdeauna cadranul pentru θ, folosește valori exacte ca π/3, nu aproximări zecimale.