Matematică Algebră
Ecuatii logaritmice rezolvate
O ecuație logaritmică conține necunoscuta în argumentul unui logaritm. Rezolvarea lor se bazează pe proprietățile logaritmilor și pe condițiile de existență. De exemplu, pentru log_a(x) = b, soluția este x = a^b, cu x > 0 și a > 0, a ≠ 1.
Pași principali de rezolvare
- 1 Stabilește condițiile de existență Argumentul logaritmului trebuie să fie strict pozitiv, iar baza să fie pozitivă și diferită de 1. Pentru log_2(x-1) = 3, avem x-1 > 0, deci x > 1.
- 2 Aplică proprietățile logaritmilor Folosește formule ca log_a(x) = log_a(y) ⇒ x = y, sau log_a(x) + log_a(y) = log_a(xy). În ecuația log_3(x) + log_3(2) = 2, obții log_3(2x) = 2.
- 3 Transformă în ecuație algebrică După simplificare, treci la forma log_a(f(x)) = b ⇒ f(x) = a^b. Pentru log_3(2x) = 2, rezultă 2x = 3^2 = 9, deci x = 4.5.
- 4 Verifică soluțiile Asigură-te că soluția respectă condițiile de existență. Pentru x = 4.5 și x > 1, este validă.
Exemple rezolvate
- Exemplu 1: log_2(x+1) = 4 Condiție: x+1 > 0 ⇒ x > -1. Rezolvare: x+1 = 2^4 = 16 ⇒ x = 15. Verificare: 15 > -1, corect.
- Exemplu 2: log(x) + log(5) = 1 (baza 10) Condiție: x > 0. Rezolvare: log(5x) = 1 ⇒ 5x = 10^1 = 10 ⇒ x = 2. Verificare: 2 > 0, corect.
- Exemplu 3: log_3(x^2 - 4) = 2 Condiție: x^2 - 4 > 0 ⇒ x ∈ (-∞, -2) ∪ (2, ∞). Rezolvare: x^2 - 4 = 3^2 = 9 ⇒ x^2 = 13 ⇒ x = ±√13. Ambele sunt în domeniu.
Întotdeauna verifică condițiile de existență înainte de a considera o soluție finală.