Matematică Algebră
Ecuatii irationale rezolvate clasa 10
Ecuațiile iraționale conțin necunoscuta sub radical. Se rezolvă prin izolarea radicalului, ridicarea la putere și verificarea soluțiilor. De exemplu, √(x+2) = 3 se rezolvă ridicând la pătrat: x+2 = 9 → x = 7, apoi verificând: √(7+2) = √9 = 3, corect.
Pași generali de rezolvare
- 1 Stabilește condiții de existență Expresia de sub radical trebuie să fie ≥ 0. Pentru √(x+2), avem x+2 ≥ 0 → x ≥ -2.
- 2 Izolează radicalul Mută toți termenii care nu conțin radical într-o parte a ecuației.
- 3 Ridică la putere Ridică la pătrat (sau la puterea corespunzătoare) ambele părți pentru a elimina radicalul.
- 4 Rezolvă ecuația obținută Rezolvi ecuația algebrică rezultată și obții soluțiile candidate.
- 5 Verifică soluțiile Înlocuiești fiecare soluție în ecuația inițială pentru a elimina soluțiile străine.
Exemplu rezolvat
- Ecuația inițială √(2x - 1) = x - 2.
- Condiții de existență 2x - 1 ≥ 0 → x ≥ 1/2 și x - 2 ≥ 0 (pentru că radicalul e nenegativ) → x ≥ 2, deci x ≥ 2.
- Ridicare la pătrat 2x - 1 = (x - 2)² → 2x - 1 = x² - 4x + 4 → x² - 6x + 5 = 0.
- Rezolvare x² - 6x + 5 = 0 → (x-1)(x-5)=0 → x₁=1, x₂=5.
- Verificare x₁=1 nu satisface x ≥ 2, deci se elimină. x₂=5: √(2*5-1)=√9=3 și 5-2=3, corect. Soluția: x=5.
Verificarea este esențială deoarece ridicarea la pătrat poate introduce soluții false.