Matematică Algebră
Ecuatii diferentiale simple explicatii
Ecuațiile diferențiale simple sunt relații între o funcție și derivatele ei. Cele mai simple sunt ecuații de ordinul întâi separabile sau liniare. Rezolvarea lor implică integrarea ambelor părți ale ecuației.
Tipuri de ecuații diferențiale simple
- Ecuații separabile Forma: dy/dx = f(x)g(y). Se separă variabilele: dy/g(y) = f(x)dx, apoi se integrează.
- Ecuații liniare de ordinul I Forma: y' + P(x)y = Q(x). Se rezolvă cu factor integrant μ(x)=e^(∫P(x)dx).
- Ecuații cu variabile separabile omogene Forma: y' = f(y/x). Se face substituția v=y/x, devine separabilă.
Exemplu rezolvat pas cu pas
- 1 Enunț Rezolvați: dy/dx = 2xy, cu condiția y(0)=1.
- 2 Separare dy/y = 2x dx (pentru y≠0).
- 3 Integrare ∫dy/y = ∫2x dx ⇒ ln|y| = x² + C.
- 4 Explicitare y = ±e^(x²+C) = Ae^(x²), unde A=±e^C.
- 5 Condiție inițială y(0)=1 ⇒ A·e⁰=1 ⇒ A=1. Soluția: y=e^(x²).
Verificați soluția derivând: y'=2xe^(x²)=2xy, corect.