Matematică Algebră
Ecuatii diferentiale de ordinul intai rezolvate clasa 12
O ecuație diferențială de ordinul întâi are forma generală y' = f(x, y) și se rezolvă prin metode specifice. În clasa a 12-a, cele mai frecvente metode sunt separarea variabilelor și ecuațiile liniare. De exemplu, pentru y' = 2xy, separăm variabilele: dy/y = 2x dx.
Metoda separării variabilelor
- 1 Pasul 1: Scrierea ecuației Rescrie ecuația sub forma dy/dx = g(x)h(y). Exemplu: y' = x/y devine dy/dx = x * (1/y).
- 2 Pasul 2: Separarea Mută termenii cu y și dy într-o parte și pe cei cu x și dx în cealaltă: h(y) dy = g(x) dx. Pentru exemplu: y dy = x dx.
- 3 Pasul 3: Integrarea Integrează ambele părți: ∫h(y) dy = ∫g(x) dx + C. Rezultă: (1/2)y² = (1/2)x² + C.
- 4 Pasul 4: Soluția generală Exprimă y explicit sau implicit. Din exemplu: y² = x² + 2C, deci y = ±√(x² + C1), cu C1 constant.
Ecuații liniare de ordinul întâi
- Forma standard y' + P(x)y = Q(x). Exemplu: y' + 2y = e^x.
- Factor integrant Calculează μ(x) = e^(∫P(x) dx). Pentru exemplu: μ(x) = e^(∫2 dx) = e^(2x).
- Rezolvarea Înmulțește ecuația cu μ(x): (μ(x)y)' = μ(x)Q(x). Integrează: y = (1/μ(x))∫μ(x)Q(x) dx.
- Exemplu numeric Pentru y' + 2y = e^x, soluția este y = e^(-2x)∫e^(2x)e^x dx = e^(-2x)∫e^(3x) dx = (1/3)e^x + Ce^(-2x).
Exersează separarea variabilelor pentru ecuații simple înainte de a trece la cele liniare.