Matematică Algebră
Ecuatii diferentiale de ordinul 1 rezolvate clasa 12
O ecuație diferențială de ordinul 1 are forma generală y' = f(x, y) și se rezolvă prin metode specifice. În clasa a 12-a, cele mai frecvente tipuri sunt ecuațiile cu variabile separabile și ecuațiile liniare. Rezolvarea lor implică găsirea funcției y(x) care verifică relația dată.
Metode de rezolvare
- Ecuații cu variabile separabile Au forma y' = g(x) * h(y). Separi variabilele: dy/h(y) = g(x)dx, apoi integrezi ambele părți. Exemplu: y' = 2xy → dy/y = 2x dx → ln|y| = x² + C → y = Ce^(x²).
- Ecuații liniare Forma: y' + P(x)y = Q(x). Rezolvi cu factor integrant μ(x) = e^(∫P(x)dx). Soluția: y = (1/μ(x))∫μ(x)Q(x)dx. Exemplu: y' + 2y = e^x → μ = e^(2x) → y = e^(-2x)∫e^(2x)e^x dx = e^(-2x)(e^(3x)/3 + C).
- Ecuații omogene Forma: y' = f(y/x). Substituția z = y/x transformă ecuația într-una cu variabile separabile. Exemplu: y' = (y/x) + 1 → z = y/x → z'x + z = z + 1 → z' = 1/x → z = ln|x| + C.
Pași generali de rezolvare
- 1 Identifică tipul ecuației Analizează forma y' = f(x, y) pentru a alege metoda potrivită (separabilă, liniară, omogenă).
- 2 Aplică metoda specifică Folosește substituții, integrare sau factor integrant conform tipului identificat.
- 3 Determină constanta de integrare Dacă se dă o condiție inițială (ex: y(0)=1), înlocuiește în soluția generală pentru a găsi C.
Exersează identificarea tipului de ecuație din enunț; asta îți economisește timpul la rezolvare.