Matematică Algebră
Ecuatii diferentiale de ordinul 1 rezolvate
O ecuație diferențială de ordinul 1 este o ecuație care implică o funcție necunoscută y(x) și derivata sa de ordinul întâi, y'. Forma generală este F(x, y, y') = 0, iar soluțiile sunt funcții care satisfac ecuația. Rezolvarea lor depinde de tipul ecuației, cum ar fi ecuații cu variabile separabile, liniare sau omogene.
Metode comune de rezolvare
- Variabile separabile Ecuații de forma y' = f(x)g(y). Se separă variabilele: dy/g(y) = f(x)dx, apoi se integrează ambele părți. Exemplu: y' = xy, separăm dy/y = x dx, integrăm: ln|y| = x²/2 + C, deci y = Ce^(x²/2).
- Ecuații liniare Forma: y' + P(x)y = Q(x). Se rezolvă folosind factorul integrant μ(x) = e^(∫P(x)dx). Soluția: y = (1/μ(x))∫μ(x)Q(x)dx + C. Exemplu: y' + 2y = e^x, cu P(x)=2, μ=e^(2x), y = e^(-2x)∫e^(2x)e^x dx = e^(-2x)(e^(3x)/3 + C) = e^x/3 + Ce^(-2x).
- Ecuații omogene Ecuații unde y' = f(y/x). Se face substituția v = y/x, deci y = vx și y' = v + xv'. Exemplu: y' = (x+y)/x, devine v + xv' = 1 + v, deci xv' = 1, v = ln|x| + C, y = x(ln|x| + C).
Pași pentru o ecuație cu variabile separabile
- 1 Pasul 1: Identificarea tipului Verifică dacă ecuația poate fi scrisă ca dy/dx = f(x)g(y). Pentru dy/dx = x²y, f(x)=x², g(y)=y.
- 2 Pasul 2: Separarea variabilelor Rescrie ecuația: dy/y = x² dx. Asigură-te că nu împărți la zero; dacă g(y)=0, verifică soluții constante separate.
- 3 Pasul 3: Integrarea ∫dy/y = ∫x² dx. Obținem ln|y| = x³/3 + C. Aplică exponențiala: |y| = e^(x³/3 + C) = e^C · e^(x³/3), deci y = ±e^C · e^(x³/3). Notăm K = ±e^C, soluția generală: y = Ke^(x³/3).
Verifică întotdeauna soluția prin derivare și înlocuire în ecuația inițială; aceasta confirmă corectitudinea și ajută la identificarea constantelor din condiții inițiale.