Matematică Algebră
Ecuatii diferentiale de ordin 1 rezolvate
O ecuație diferențială de ordinul I se rezolvă prin metode specifice în funcție de tipul ei. Cele mai frecvente tipuri sunt ecuațiile cu variabile separabile și ecuațiile liniare. Rezolvarea implică găsirea unei funcții y(x) care satisface ecuația.
Ecuații cu variabile separabile
- 1 Scrie ecuația sub forma dy/dx = f(x)g(y) Exemplu: dy/dx = x·y. Aici f(x)=x și g(y)=y.
- 2 Separa variabilele: dy/g(y) = f(x)dx Pentru exemplu: dy/y = x dx.
- 3 Integrează ambele părți: ∫dy/g(y) = ∫f(x)dx + C Rezultă: ln|y| = x²/2 + C, deci y = ±e^(x²/2 + C) = A·e^(x²/2), cu A constantă.
Ecuații liniare de forma y' + P(x)y = Q(x)
- 1 Calculează factorul integrant μ(x) = e^(∫P(x)dx) Pentru y' + 2xy = x, P(x)=2x, deci μ(x)=e^(x²).
- 2 Înmulțește ecuația cu μ(x): μ(x)y' + μ(x)P(x)y = μ(x)Q(x) Ecuația devine: e^(x²)y' + 2xe^(x²)y = x·e^(x²).
- 3 Integrează: (μ(x)y)' = μ(x)Q(x), apoi y = (∫μ(x)Q(x)dx + C)/μ(x) Rezultă: e^(x²)y = ∫x·e^(x²)dx = (1/2)e^(x²) + C, deci y = 1/2 + C·e^(-x²).
Verifică întotdeauna soluția prin derivare și înlocuire în ecuația inițială.