Matematică Algebră
Ecuatii cu modul rezolvate clasa 9
Ecuațiile cu modul au forma |f(x)| = g(x) și se rezolvă prin eliminarea modulului, considerând cazurile în care expresia din modul este pozitivă sau negativă. În clasa a 9-a, acestea implică inecuații și verificarea soluțiilor. Exemplu: |x-3| = 5 are soluțiile x=8 și x=-2.
Metode de rezolvare
- 1 Pasul 1: Scrierea cazurilor Pentru |A| = B, cu B ≥ 0, scrie două ecuații: A = B și A = -B. Exemplu: |2x+1| = 7 dă 2x+1=7 și 2x+1=-7.
- 2 Pasul 2: Rezolvarea ecuațiilor Rezolvă fiecare ecuație separat. Pentru exemplu: 2x+1=7 → x=3; 2x+1=-7 → x=-4.
- 3 Pasul 3: Verificarea condițiilor Dacă ecuația este |A| = B cu B o expresie, impune B ≥ 0 și verifică soluțiile în ecuația originală. Exemplu: |x| = x-1: x-1 ≥ 0 → x ≥ 1; apoi rezolvă x = x-1 (imposibil) și -x = x-1 → x=0.5, dar nu satisface x ≥ 1, deci fără soluții.
- 4 Pasul 4: Sisteme de ecuații Pentru |A| = |B|, scrie A = B sau A = -B. Exemplu: |x-2| = |3x+4| dă x-2=3x+4 → x=-3 și x-2=-(3x+4) → x=-0.5.
Exemple rezolvate pas cu pas
- Exemplul 1: |x+3| = 5 Cazul 1: x+3=5 → x=2. Cazul 2: x+3=-5 → x=-8. Soluțiile: x=2 și x=-8.
- Exemplul 2: |2x-1| = x+4 Condiție: x+4 ≥ 0 → x ≥ -4. Cazul 1: 2x-1 = x+4 → x=5 (satisface). Cazul 2: 2x-1 = -(x+4) → 2x-1 = -x-4 → 3x = -3 → x=-1 (satisface). Soluțiile: x=5 și x=-1.
- Exemplul 3: |x²-4| = 3 Cazul 1: x²-4=3 → x²=7 → x=±√7. Cazul 2: x²-4=-3 → x²=1 → x=±1. Soluțiile: x=√7, x=-√7, x=1, x=-1.
- Exemplul 4: |x| + |x-2| = 4 Împarte în intervale: x<0, 0≤x<2, x≥2. Rezolvă pe fiecare: pentru x<0: -x + (-(x-2)) = 4 → -2x+2=4 → x=-1 (valid). Pentru 0≤x<2: x + (-(x-2)) = 4 → 2=4 (imposibil). Pentru x≥2: x + (x-2) = 4 → 2x=6 → x=3 (valid). Soluțiile: x=-1 și x=3.
Întotdeauna verifică soluțiile în ecuația originală, mai ales când modulul este egal cu o expresie care poate fi negativă.