Matematică Algebră
Ecuatia planului in spatiu exemple
Ecuația unui plan în spațiu se scrie sub forma generală ax + by + cz + d = 0, unde a, b, c sunt coeficienții normali și d este termenul liber. Această ecuație descrie toate punctele (x, y, z) care se află pe acel plan. De exemplu, planul 2x - 3y + z - 4 = 0 are coeficienții a=2, b=-3, c=1, d=-4.
Forme ale ecuației planului
- Ecuația generală ax + by + cz + d = 0, cu a, b, c nu toate zero. Exemplu: 3x + y - 2z + 5 = 0.
- Ecuația prin trei puncte Dacă A(1,0,2), B(2,1,1), C(0,1,3), determinantul |x-1 y-0 z-2; 2-1 1-0 1-2; 0-1 1-0 3-2| = 0 dă ecuația planului.
- Ecuația cu un punct și vectorul normal Dacă n=(a,b,c) este vectorul normal și P0(x0,y0,z0) un punct, ecuația este a(x-x0)+b(y-y0)+c(z-z0)=0. Exemplu: n=(1,2,-1), P0(0,1,2) dă x + 2(y-1) - (z-2)=0.
Exemple numerice
- Plan paralel cu axa Oz Planul 2x + 3y - 5 = 0 are c=0, deci este paralel cu axa Oz. Punctul (1,1, orice z) îl verifică.
- Plan care trece prin origine Planul x - 2y + 3z = 0 are d=0, deci conține punctul (0,0,0).
- Plan perpendicular pe un vector Planul perpendicular pe vectorul v=(2,-1,3) are ecuația 2x - y + 3z + d = 0. Pentru d=4, obținem 2x - y + 3z + 4 = 0.
Pentru a verifica dacă un punct aparține planului, înlocuiește coordonatele în ecuație.