Matematică Algebră
Diagonalizarea matricelor
Diagonalizarea matricelor este procesul de a găsi o matrice diagonală D și o matrice inversabilă P astfel încât A = PDP⁻¹, unde A este matricea pătratică dată. Aceasta este posibilă dacă matricea are n vectori proprii liniar independenți, unde n este dimensiunea matricei.
Pași pentru diagonalizare
- 1 Calculul valorilor proprii Rezolvă ecuația caracteristică det(A - λI) = 0, unde I este matricea identitate, pentru a găsi valorile proprii λ.
- 2 Găsirea vectorilor proprii Pentru fiecare valoare proprie λ, rezolvă sistemul (A - λI)v = 0 pentru a determina vectorii proprii v.
- 3 Verificarea independenței liniare Asigură-te că vectorii proprii găsiți sunt liniar independenți; dacă nu, matricea nu este diagonalizabilă.
- 4 Formarea matricelor P și D Matricea P are pe coloane vectorii proprii, iar D este o matrice diagonală cu valorile proprii pe diagonala principală.
Exemplu numeric
- Matricea dată A = [[4, 1], [2, 3]]. Să o diagonalizăm.
- Valorile proprii det(A - λI) = det([[4-λ, 1], [2, 3-λ]]) = (4-λ)(3-λ) - 2 = λ² - 7λ + 10 = 0 → λ₁=2, λ₂=5.
- Vectorii proprii Pentru λ₁=2: (A-2I)v=0 → [[2,1],[2,1]]v=0 → v₁ = (1,-2). Pentru λ₂=5: (A-5I)v=0 → [[-1,1],[2,-2]]v=0 → v₂ = (1,1).
- Matricele rezultate P = [[1, 1], [-2, 1]], D = [[2, 0], [0, 5]]. Verifică: A = PDP⁻¹.
Diagonalizează doar matricele care au suficiente vectori proprii liniar independenți.