Matematică Algebră
Determinanti de ordin 3 calcul
Determinantul de ordin 3 este un număr real asociat unei matrice pătrate 3x3, calculat folosind regula lui Sarrus sau dezvoltarea după o linie sau coloană. Pentru o matrice A = [[a, b, c], [d, e, f], [g, h, i]], determinantul det(A) se notează și cu |A|.
Regula lui Sarrus
- 1 Scrie matricea și repetă primele două coloane Pentru A = [[a, b, c], [d, e, f], [g, h, i]], scrie a, b, c, a, b pe prima linie extinsă, și similar pentru liniile a doua și a treia.
- 2 Calculează produsele diagonale principale Adună produsele de pe diagonalele de la stânga sus la dreapta jos: a*e*i + b*f*g + c*d*h.
- 3 Calculează produsele diagonale secundare Scade produsele de pe diagonalele de la dreapta sus la stânga jos: c*e*g + a*f*h + b*d*i.
- 4 Obține determinantul det(A) = (a*e*i + b*f*g + c*d*h) - (c*e*g + a*f*h + b*d*i).
Exemplu numeric
- Matricea A = [[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]] Aplică regula lui Sarrus: diagonale principale: 1*5*9 + 2*6*7 + 3*4*8 = 45 + 84 + 96 = 225. Diagonale secundare: 3*5*7 + 1*6*8 + 2*4*9 = 105 + 48 + 72 = 225. det(A) = 225 - 225 = 0.
- Matricea B = [[2, 0, 1], [3, 1, 4], [1, 2, 1]] Diagonale principale: 2*1*1 + 0*4*1 + 1*3*2 = 2 + 0 + 6 = 8. Diagonale secundare: 1*1*1 + 2*4*2 + 0*3*1 = 1 + 16 + 0 = 17. det(B) = 8 - 17 = -9.
- Interpretare geometrică Determinantul măsoară volumul paralelipipedului format de vectorii rând sau coloană ai matricei. Dacă det = 0, vectorii sunt coplanari.
Folosește regula lui Sarrus pentru calcul rapid, dar verifică întotdeauna calculele pentru a evita erorile de semn.