Matematică Algebră
Derivata unei functii definitie si proprietati
Derivata unei funcții într-un punct măsoară rata de schimbare a funcției în acel punct, adică panta tangentei la grafic. Se notează f'(x) și se definește ca lim(h→0) [f(x+h)-f(x)]/h. De exemplu, derivata lui f(x)=x² este f'(x)=2x.
Definiție și interpretare geometrică
- Definiția formală f'(a)=lim(h→0) [f(a+h)-f(a)]/h, dacă limita există și este finită. Aceasta este derivata în punctul x=a.
- Semnificația geometrică f'(a) este panta dreptei tangente la graficul funcției în punctul (a, f(a)). Dacă f'(a)>0, funcția crește.
- Exemplu numeric Pentru f(x)=3x+1, f'(x)=3, deoarece rata de schimbare este constantă.
Proprietăți importante ale derivatelor
- 1 Derivata sumei/diferenței (f±g)'(x)=f'(x)±g'(x). Exemplu: dacă f(x)=x², g(x)=x, atunci (x²+x)'=2x+1.
- 2 Derivata produsului (fg)'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x). Exemplu: (x·sin x)'=1·sin x + x·cos x.
- 3 Derivata câtului (f/g)'(x)=[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]/[g(x)]², pentru g(x)≠0. Exemplu: (1/x)'=-1/x².
Exersează calculul derivatelor funcțiilor elementare, cum arfi (x^n)'=nx^(n-1) sau (sin x)'=cos x.