Matematică Algebră
Derivabilitatea functiilor regula lui L'Hopital
Regula lui L'Hôpital se aplică la limite de forma 0/0 sau ∞/∞ pentru a calcula limite folosind derivate. Aceasta spune că lim (x→a) f(x)/g(x) = lim (x→a) f'(x)/g'(x), dacă limitele derivatelor există. De exemplu, pentru lim (x→0) sin(x)/x, derivând obții cos(x)/1, cu limita 1.
Condiții de aplicare
- Forma nedeterminată Limita trebuie să fie de tip 0/0 sau ∞/∞ când x tinde la a.
- Derivabilitate Funcțiile f și g trebuie să fie derivabile într-o vecinătate a lui a, cu g'(x)≠0.
- Existența limitei Limita raportului derivatelor trebuie să existe sau să fie infinită.
Exemplu rezolvat
- 1 Pasul 1: Identifică forma Calculează lim (x→0) (e^x-1)/x. La x=0, este 0/0.
- 2 Pasul 2: Derivează f(x)=e^x-1, f'(x)=e^x. g(x)=x, g'(x)=1.
- 3 Pasul 3: Aplică regula lim (x→0) (e^x-1)/x = lim (x→0) e^x/1 = e^0 = 1.
Verifică întotdeauna forma nedeterminată înainte de a aplica regula.