Matematică Algebră
Cum se calculeaza inversul unui numar complex formula?
Inversul unui număr complex z=a+bi se calculează cu formula 1/z = (a-bi)/(a²+b²), unde a și b sunt numere reale. De exemplu, pentru z=3+4i, inversul este (3-4i)/25.
Formula și demonstrație
- 1 Pasul 1: Scrie numărul complex z = a + bi, cu a,b ∈ ℝ și i²=-1.
- 2 Pasul 2: Aplică formula inversului 1/z = (a - bi) / (a² + b²). Numitorul a²+b² este pătratul modulului |z|².
- 3 Pasul 3: Verifică înmulțirea (a+bi) * (a-bi)/(a²+b²) = (a²+b²)/(a²+b²) = 1, confirmă că este invers.
Exemple numerice
- Exemplul 1: z=2+3i 1/z = (2-3i)/(2²+3²) = (2-3i)/(4+9) = (2-3i)/13.
- Exemplul 2: z=1-i 1/z = (1-(-1)i)/(1²+(-1)²) = (1+i)/(1+1) = (1+i)/2.
- Exemplul 3: z=5 (număr real) a=5, b=0 → 1/z = (5-0i)/(5²+0²) = 5/25 = 1/5, ca la numere reale.
Calculează întâi a²+b² pentru a evita erorile la simplificare.