Matematică Algebră
Cum se calculeaza argumentul unui numar complex geometric?
Argumentul unui număr complex z=a+bi este unghiul θ dintre semidreapta de la origine la punctul (a,b) și axa reală pozitivă, calculat cu formula θ = arctan(b/a) ajustată după cadran. De exemplu, pentru z=1+i, argumentul este π/4 radiani.
Definiție geometrică
- Reprezentare în plan Numărul z=a+bi corespunde punctului M(a,b) în planul complex (axa Ox=reală, Oy=imaginară).
- Argumentul θ Unghiul făcut de vectorul OM cu direcția pozitivă a axei Ox, măsurat în radiani.
- Interval principal θ ∈ (-π, π] sau [0, 2π), în funcție de convenție.
Calcul practic
- 1 Pasul 1: Determină cadranul După semnele lui a și b: Cadran I (a>0,b>0), II (a<0,b>0), III (a<0,b<0), IV (a>0,b<0).
- 2 Pasul 2: Calculează arctan θ₀ = arctan(|b/a|) pentru a≠0. Dacă a=0, θ=π/2 (b>0) sau -π/2 (b<0).
- 3 Pasul 3: Ajustează după cadran Cadran I: θ=θ₀, II: θ=π-θ₀, III: θ=-π+θ₀, IV: θ=-θ₀.
Exemple numerice
- Exemplul 1: z=√3+i a=√3>0, b=1>0 → Cadran I. θ = arctan(1/√3) = π/6.
- Exemplul 2: z=-1-i a=-1<0, b=-1<0 → Cadran III. θ₀=arctan(1)=π/4, θ=-π+π/4=-3π/4.
- Exemplul 3: z=2i a=0, b=2>0 → θ=π/2.
Întotdeauna verifică cadranul pentru a corecta valoarea dată de arctan.