Matematică Algebră
Convexitate concavitate grafic
Convexitatea și concavitatea unui grafic descriu curbura acestuia. O funcție este convexă pe un interval dacă graficul său se află sub coarda dintre oricare două puncte, și concavă dacă se află deasupra. Aceste proprietăți se determină cu derivata a doua.
Definiții și criterii
- Funcție convexă f este convexă pe I dacă f''(x) ≥ 0 pentru orice x din I. Graficul are formă de „bol” orientat în sus, ca f(x)=x².
- Funcție concavă f este concavă pe I dacă f''(x) ≤ 0 pentru orice x din I. Graficul are formă de „bol” orientat în jos, ca f(x)=-x².
- Punct de inflexiune Punctul unde graficul își schimbă convexitatea în concavitate sau invers. La f(x)=x³, x=0 este punct de inflexiune deoarece f''(0)=0 și semnul derivatei a doua se schimbă.
Exemplu de analiză
- 1 Funcția dată Fie f(x)=x³ - 3x². Calculează f'(x)=3x² - 6x și f''(x)=6x - 6.
- 2 Semnul derivatei a doua Rezolvă f''(x)=0 → 6x-6=0 → x=1. Pentru x<1, f''(x)<0 (concavă); pentru x>1, f''(x)>0 (convexă).
- 3 Concluzie f este concavă pe (-∞,1) și convexă pe (1,∞). x=1 este punct de inflexiune, cu f(1)=-2.
Verifică derivata a doua pentru a identifica rapid regiunile de convexitate și concavitate.