Matematică Algebră
Asimptotele unei functii exemple
Asimptotele unei funcții sunt drepte către care graficul funcției se apropie la infinit. Există trei tipuri: verticale, orizontale și oblice. De exemplu, f(x) = 1/x are asimptota verticală x=0 și orizontală y=0.
Tipuri de asimptote și condiții
- Asimptotă verticală Apare la x=a dacă lim(x→a) f(x) = ±∞. Exemplu: f(x)=1/(x-2) are asimptota x=2.
- Asimptotă orizontală Apare la y=L dacă lim(x→±∞) f(x)=L. Exemplu: f(x)=(2x+1)/x are limita 2, deci y=2.
- Asimptotă oblică Apare dacă lim(x→±∞) [f(x)/x]=m (finit nenul) și lim(x→±∞) [f(x)-mx]=n. Ecuația este y=mx+n.
Exemplu complet pentru o funcție rațională
- 1 Identifică domeniul și punctele critice Fie f(x)=(x²+1)/(x-1). Domeniul: R\{1}. Verifică asimptota verticală la x=1.
- 2 Calculează asimptota verticală lim(x→1) (x²+1)/(x-1) = ∞, deci x=1 este asimptotă verticală.
- 3 Calculează asimptota oblică Pentru x→±∞, m=lim f(x)/x=lim (x²+1)/(x(x-1))=1. n=lim (f(x)-x)=lim ((x²+1)/(x-1)-x)=lim (2/(x-1))=0. Asimptota oblică este y=x.
Verifică întotdeauna limitele la ±∞ pentru a nu rata asimptote orizontale sau oblice.