Matematică Algebră
Asimptotele functiilor explicatii clasa 11
Asimptotele unei funcții sunt drepte către care graficul funcției se apropie la infinit. Există asimptote orizontale, verticale și oblice. Pentru clasa a XI-a, ele se determină analizând limitele funcției.
Tipuri de asimptote
- Asimptotă orizontală Dacă lim f(x) = L (finit) când x→∞ sau x→-∞, atunci y=L este asimptotă orizontală.
- Asimptotă verticală Dacă lim f(x) = ±∞ când x→a (finit), atunci x=a este asimptotă verticală.
- Asimptotă oblică Dacă lim [f(x)/x] = m (finit, nenul) și lim [f(x)-mx] = n (finit) când x→∞, atunci y=mx+n este asimptotă oblică.
Exemplu: Funcție rațională
- 1 Enunț Determină asimptotele lui f(x) = (2x+1)/(x-3).
- 2 Asimptotă verticală Când x→3, numitorul tinde la 0, numărătorul la 7 → limita este ±∞. Deci x=3 este asimptotă verticală.
- 3 Asimptotă orizontală lim f(x) când x→∞: gradul numărătorului = gradul numitorului =1 → limita este raportul coeficienților lideri: 2/1=2. Deci y=2 este asimptotă orizontală.
- 4 Asimptotă oblică Nu există, deoarece există deja asimptotă orizontală.
Exemplu: Funcție cu radical
- 1 Enunț Determină asimptotele lui f(x) = √(x²+1).
- 2 Asimptotă orizontală lim f(x) când x→∞: √(x²+1) ~ |x| → nu există limită finită, deci nu există asimptotă orizontală.
- 3 Asimptotă oblică m = lim f(x)/x când x→∞ = lim √(x²+1)/x = 1 (pentru x>0). n = lim [f(x)-1·x] = lim (√(x²+1)-x) = 0 (folosind conjugata). Deci y=x este asimptotă oblică la +∞. Similar, pentru x→-∞, y=-x.
Verifică întotdeauna asimptotele verticale la punctele unde numitorul se anulează și calculează limitele la infinit pentru cele orizontale sau oblice.