Matematică Algebră
Arii sub graficul unei functii calcul
Aria sub graficul unei funcții pe un interval [a,b] se calculează cu integrala definită. Pentru o funcție continuă f(x) ≥ 0, aria = ∫ de la a la b f(x) dx, reprezentând suma ariilor infinitezimale.
Pași pentru calculul ariei
- 1 Identifică funcția și intervalul Fie f(x)=x² pe [0,2]. Aria sub grafic între x=0 și x=2 se calculează cu integrala de la 0 la 2 din x² dx.
- 2 Calculează integrala nedefinită ∫x² dx = x³/3 + C. Aceasta este antiderivata funcției.
- 3 Aplică teorema fundamentală Aria = F(2) - F(0), unde F(x)=x³/3. Deci, (2³/3) - (0³/3) = 8/3.
- 4 Interpretează rezultatul Aria este 8/3 ≈ 2.67 unități pătrate, reprezentând zona dintre graficul lui f(x)=x², axa Ox și dreptele x=0, x=2.
Exemple și cazuri speciale
- Funcție liniară Pentru f(x)=2x+1 pe [1,3], aria = ∫(2x+1)dx = x²+x. Calcul: (3²+3)-(1²+1)=12-2=10.
- Funcție sub axa Ox Dacă f(x) < 0, aria se calculează cu valoarea absolută. Pentru f(x)=-x pe [0,2], aria = ∫| -x |dx = ∫x dx = x²/2, de la 0 la 2 = 2.
- Arie între două curbe Pentru f(x)=x² și g(x)=x pe [0,1], aria = ∫(f(x)-g(x))dx = ∫(x²-x)dx = (x³/3 - x²/2). Calcul: (1/3-1/2)-(0)= -1/6, luăm valoarea absolută 1/6.
Verifică semnul funcției pe interval; dacă este negativă, ia modulul pentru a obține aria pozitivă.