Matematică Algebră
Aria sub graficul unei functii integrale
Aria sub graficul unei funcții integrale se calculează ca integrala definită a funcției pe un interval. Pentru o funcție continuă f(x) pe [a, b], aria este ∫_a^b f(x) dx. Dacă f(x) are valori negative, integrala dă aria cu semn, iar aria geometrică se obține luând valoarea absolută pe subintervale.
Cum se calculează aria
- 1 Pasul 1: Identifică funcția și intervalul Stabilește funcția f(x) și limitele de integrare a și b. Exemplu: f(x) = x², a = 0, b = 2.
- 2 Pasul 2: Calculează integrala definită Află primitiva F(x) și aplică formula ∫_a^b f(x) dx = F(b) - F(a). Pentru x², F(x) = x³/3, deci ∫_0^2 x² dx = (8/3) - 0 = 8/3.
- 3 Pasul 3: Interpretează rezultatul Valoarea 8/3 reprezintă aria sub grafic dacă f(x) ≥ 0 pe [0,2]. Dacă f(x) schimbă semnul, descompune intervalul.
Exemplu numeric
- Funcția liniară Pentru f(x) = 2x + 1 pe [1,3], aria = ∫_1^3 (2x+1) dx = [x²+x]_1^3 = (9+3)-(1+1) = 10.
- Funcție cu semn negativ Pentru f(x) = -x pe [0,2], ∫_0^2 (-x) dx = [-x²/2]_0^2 = -2, dar aria geometrică este 2, luând valoarea absolută.
- Aplicație practică În fizică, aria sub graficul vitezei în funcție de timp dă distanța parcursă.
Verifică întotdeauna semnul funcției pe interval pentru a calcula corect aria geometrică.